设 $0 < {x_1},{x_2} , \cdots , {x_n} < 1$，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} = 1$ $\left(n\geqslant 2\right)$．求证：$\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} > 4$．
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式，可得\[\begin{split}\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} &\geqslant \dfrac{{{n^2}}}{{\left( {{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}} \right) - \left( {x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3} \right)}}\\&> \dfrac{{{n^2}}}{{{x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n}}} \\&= {n^2} \geqslant 4,\end{split}\]所以原命题得证．
答案
解析
备注
