已知函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$（$a \neq 0$），当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$|f'(x)| \leqslant 1$，试求 $a$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 83$
【解析】
因为 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$，由$$\begin{cases}f'(0)=c,\\ f'\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 34a+b+c,\\ f'(1)=3a+2b+c.\end{cases}$$得$$3a=2f'(0)+2f'(1)-4f'\left(\dfrac 12\right).$$所以\[\begin{split}3|a|&=\left|2f'(0)+2f'(1)-4f'\left(\dfrac 12\right)\right|\\ &\leqslant 2\left|f'(0)\right|+2\left|f'(1)\right|+4\left|f'\left(\dfrac 12\right)\right|\\ & \leqslant 8.\end{split}\]所以 $a \leqslant \dfrac 83$．又易知当 $f(x)=\dfrac 83x^3-4x^2+x+m$（$m$ 为常数）满足题设条件，所以 $a$ 的最大值为 $\dfrac 83$．
因为 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$，设 $g(x)=f'(x)+1$，则当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$0 \leqslant g(x) \leqslant 2$．
设 $z=2x-1$，则 $x=\dfrac {z+1}{2}$，$-1 \leqslant z \leqslant 1$．所以$$h(z)=g\left(\dfrac {z+1}{2}\right)=\dfrac {3a}{4}z^2+\dfrac {3a+2b}{2}z+\dfrac {3a}{4}+b+c+1.$$容易知道当 $-1 \leqslant z \leqslant 1$ 时，$0 \leqslant h(z) \leqslant 2$，$0 \leqslant h(-z) \leqslant 2$．从而当 $-1 \leqslant z \leqslant 1$ 时，$0 \leqslant \dfrac {h(z)+h(-z)}{2} \leqslant 2$，即$$0 \leqslant \dfrac {3a}{4}z^2 +\dfrac {3a}{4}+b+c+1 \leqslant 2,$$从而 $\dfrac {3a}{4}+b+c+1 \geqslant 0$，$ \dfrac {3a}{4}z^2 \leqslant 2 $，由 $0 \leqslant z^2 \leqslant 1$，知 $a \leqslant \dfrac 83$．又易知当 $f(x)=\dfrac 83x^3-4x^2+x+m$（$m$ 为常数）满足题设条件，所以 $a$ 的最大值为 $\dfrac 83$．
答案
解析
备注
