题目 （12分）设 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}(x>0)$． 问题1 判断函数 $f(x)$ 的单调性； 答案1 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数 解析1 因为 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}(x>0)$，所以\[f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^{2}}.\]设 $g(x)=\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)(x>0)$．所以\[g'(x)=\dfrac{1+x-x}{(1+x)^{2}}-\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1-(1+x)}{(1+x)^{2}}=\dfrac{-x}{(1+x)^{2}} < 0,\]所以 $y=g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为减函数．所以\[g(x)=\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)\leqslant 0,\]所以\[f'(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)}{x^{2}}\leqslant 0,\]所以函数 $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数． 备注1 问题2 是否存在实数 $a$，使得关于 $x$ 的不等式 $\ln (1+x)<ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，若存在，求出 $a$ 的取值范围，若不存在，试说明理由； 答案2 存在，$a$ 的取值范围为 $\left[1,+\infty\right)$ 解析2 $\ln(1+x)<ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，即 $\ln (1+x)-ax<0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立．<br/>设 $h(x)=\ln(1+x)-ax$，则 $h(0)=0$，$h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-a$．<br/>若 $a\geqslant 1$，则 $x\in[0,+\infty)$ 时，$h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-a<0$，所以 $\ln (1+x)<ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立；<br/>若 $a\leqslant 0$，$h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-a>0$，所以 $h(x)=\ln(1+x)-ax$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，$\ln(1+x)-ax\geqslant h(0)=0$ 不符合题意；<br/>若 $0<a<1$，则 $h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-a=0$ 时，$x=\dfrac{1}{a}-1$，所以 $x\in\left[0,\dfrac{1}{a}-1\right)$ 时，$h'(x)>0$，所以 $h(x)=\ln(1+x)-ax$ 在 $\left[0,\dfrac{1}{a}-1\right)$ 上为增函数，当 $x\in\left[0,\dfrac{1}{a}-1\right)$ 时，$f(x)=\ln(1+x)-ax>0$，不能使 $\ln(1+x)<ax$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，所以 $a\geqslant 1$． 备注2 问题3 求证：$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<{\rm e}$，$n\in\mathbb N^{*}$（其中 ${\rm e}$ 为自然对数的底数）． 答案3 略 解析3 由 $(2)$ 可知 $\dfrac{\ln(1+x)}{x}<1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，所以 $\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}<1$，即 $(1+x)^{\frac{1}{x}}<{\rm e}$，取 $\dfrac{1}{x}=n$，即可证得 $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<{\rm e}$ 对一切正整数 $n$ 成立． 备注3