（15分）已知 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ 是 $n$ 个正数，满足 $a_{1} a_{2}\cdots a_{n}=1$．求证：$(2+a_{1})(2+a_{2})\cdots (2+a_{n})\geqslant 3^{n}$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $2+a_{i}=1+1+a_{i}\geqslant 3\sqrt[3]{a_{i}}$，$(i=1,2,3,\cdots,n)$，所以\[\begin{split}&\quad (2+a_{1})(2+a_{2})\cdots(2+a_{n})\\&=(1+1+a_{1})(1+1+a_{2})\cdots(1+1+a_{n})\\&\geqslant 3\sqrt[3]{a_{1}}\cdot 3\sqrt[3]{a_{2}}\cdots 3\sqrt[3]{a_{n}}\\&\geqslant 3^{n}\sqrt[3]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=3^{n}.\end{split}\]
答案
解析
备注
