平面上有 $n(n\geqslant 3)$ 个不共线的点 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$，在每个点 $A_i$ 旁标注数字 $a_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）．如果一条直线通过这些点中的两个或更多个时，则这些点旁所标注的数字之和为零．证明所有标注的数字都为零．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设平面上 $n$（$n\geqslant 3$）个点 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 旁所标注的数分别为 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$，令 $S=a_1+a_2+\cdots +a_n$，过点作 $A_i$ 的直线 $l_{ij}$（$j=1,2,\cdots ,m$），使得除 $A_i$ 以外的所有点，在这些直线上仅出现一次．
依题意知，$2\leqslant m\leqslant n-1$，且有$$(m-1)a_i+S=0\cdots \text{ ① }$$故有 $a_i$ 与 $S$ 的符号相反，从而 $a_1+a_2+\cdots +a_n$ 与 $S$ 的符号相反，即$$a_1+a_2+\cdots +a_n=-(a_1+a_2+\cdots +a_n),$$则 $S=0$，再由 ① 得 $a_i=0$．
所以平面上的 $n$ 个点 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 旁所标注的数字 $a_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）均为零．
依题意知，$2\leqslant m\leqslant n-1$，且有$$(m-1)a_i+S=0\cdots \text{ ① }$$故有 $a_i$ 与 $S$ 的符号相反，从而 $a_1+a_2+\cdots +a_n$ 与 $S$ 的符号相反，即$$a_1+a_2+\cdots +a_n=-(a_1+a_2+\cdots +a_n),$$则 $S=0$，再由 ① 得 $a_i=0$．
所以平面上的 $n$ 个点 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 旁所标注的数字 $a_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）均为零．
答案
解析
备注
