已知 $a,b,c$ 为正数，且满足 $abc=1$．证明：
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leqslant a^2+b^2+c^2$；
（2）$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geqslant 24$．
（1）$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leqslant a^2+b^2+c^2$；
（2）$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\geqslant 24$．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（文）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $a^2+b^2\geqslant 2ab,b^2+c^2\geqslant 2bc,c^2+a^2\geqslant 2ac$，又 $abc=1$，故有 $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$．
所以 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leqslant a^2+b^2+c^2$．
（2）因为 $a,b,c$ 为正数且 $abc=1$，故有
$\begin{aligned}(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)32&\geqslant 3\sqrt[3]{(a+b)^3(b+c)^3(a+c)^3}\\&=3(a+b)(b+c)(a+c)\\&\geqslant 3\times (2\sqrt{ab})\times(2\sqrt{bc})\times (2\sqrt{ac})\\&=24\end{aligned}$
所以 $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\geqslant 24$．
所以 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leqslant a^2+b^2+c^2$．
（2）因为 $a,b,c$ 为正数且 $abc=1$，故有
$\begin{aligned}(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)32&\geqslant 3\sqrt[3]{(a+b)^3(b+c)^3(a+c)^3}\\&=3(a+b)(b+c)(a+c)\\&\geqslant 3\times (2\sqrt{ab})\times(2\sqrt{bc})\times (2\sqrt{ac})\\&=24\end{aligned}$
所以 $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\geqslant 24$．
答案
解析
备注
