在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $b+c=2a,3c\sin B=4a\sin C$．
（I）求 $\cos B$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值．
（I）求 $\cos B$ 的值；
（II）求 $\sin \left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
2019年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理 $\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$，得 $b\sin C=c\sin B$，又由 $3c\sin B=4a\sin C$，即 $3b=4a$．又因为 $b+c=2a$，得到 $b=\dfrac{4}{3}a,c=\dfrac{2}{3}a$．由余弦定理可得 $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\dfrac{a^2+\frac{4}{9}a^2-\dfrac{16}{9}a^2}{2\cdot a\cdot\frac{2}{3}a}=-\dfrac{1}{4}$．
（II）由（I）可得 $\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，从而 $\sin 2B=2\sin B\cos B=-\dfrac{\sqrt{15}}{8},\cos 2B=\cos^2B-\sin^2B=-\dfrac{7}{8}$，故
$\sin \left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin 2B\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos 2B\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{7}{8}\times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{3\sqrt{5}+7}{16}$．
（II）由（I）可得 $\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$，从而 $\sin 2B=2\sin B\cos B=-\dfrac{\sqrt{15}}{8},\cos 2B=\cos^2B-\sin^2B=-\dfrac{7}{8}$，故
$\sin \left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin 2B\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos 2B\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{15}}{8}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{7}{8}\times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{3\sqrt{5}+7}{16}$．
答案
解析
备注
