在 $\triangle ABC$ 中，$a=3,b-c=2,\cos B=-\dfrac{1}{2}$．
（I）求 $b,c$ 的值；
（II）求 $\sin (B-C)$ 的值．
（I）求 $b,c$ 的值；
（II）求 $\sin (B-C)$ 的值．
【难度】
【出处】
2019年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）由余弦定理 $b^2=a^2-c^2-2ac\cos B$，得 $b^2=3^2+c^2-2\times 3\times c\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$．
因为 $b=c+2$，所以 $(c+2)^2=3^2+c^2-2\times 3\times c\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$．
解得 $c=5$．
所以 $b=7$．
（II）由 $\cos B=-\dfrac{1}{2}$ 得 $\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理得 $\sin C=\dfrac{c}{b}\sin B=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$．
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是钝角，所以 $\angle C$ 为锐角．
所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\dfrac{11}{4}$．
所以 $\sin (B-C)=\sin B\cos C-\cos B\sin C=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$．
因为 $b=c+2$，所以 $(c+2)^2=3^2+c^2-2\times 3\times c\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$．
解得 $c=5$．
所以 $b=7$．
（II）由 $\cos B=-\dfrac{1}{2}$ 得 $\sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
由正弦定理得 $\sin C=\dfrac{c}{b}\sin B=\dfrac{5\sqrt{3}}{14}$．
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是钝角，所以 $\angle C$ 为锐角．
所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\dfrac{11}{4}$．
所以 $\sin (B-C)=\sin B\cos C-\cos B\sin C=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$．
答案
解析
备注
