在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．
（1）若 $a=3c,b=\sqrt{2},\cos B=\dfrac{2}{3}$，求 $c$ 的值；
（2）若 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}$，求 $\sin \left(B+\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的值．
（1）若 $a=3c,b=\sqrt{2},\cos B=\dfrac{2}{3}$，求 $c$ 的值；
（2）若 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}$，求 $\sin \left(B+\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
2019年高考江苏卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）因为 $a=3c,b=\sqrt{2},\cos B=\dfrac{2}{3}$，
由余弦定理 $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，得 $\dfrac{2}{3}=\dfrac{(3c)^2+c^2-(\sqrt{2})^2}{2\times 3c\times c}$，即 $c^2=\dfrac{1}{3}$．
所以 $c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）因为 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}$，
由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，得 $\dfrac{\cos B}{2b}=\dfrac{\sin B}{b}$，所以 $\cos B=2\sin B$．
从而 $\cos^2 B=(2\sin B)^2$，即 $\cos^2 B=4(1-\cos^2 B)$，故 $\cos^2 B=\dfrac{4}{5}$．
因为 $\sin B>0$，所以 $\cos B=2\sin B>0$，从而 $\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
因此 $\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
由余弦定理 $\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，得 $\dfrac{2}{3}=\dfrac{(3c)^2+c^2-(\sqrt{2})^2}{2\times 3c\times c}$，即 $c^2=\dfrac{1}{3}$．
所以 $c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）因为 $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}$，
由正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$，得 $\dfrac{\cos B}{2b}=\dfrac{\sin B}{b}$，所以 $\cos B=2\sin B$．
从而 $\cos^2 B=(2\sin B)^2$，即 $\cos^2 B=4(1-\cos^2 B)$，故 $\cos^2 B=\dfrac{4}{5}$．
因为 $\sin B>0$，所以 $\cos B=2\sin B>0$，从而 $\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
因此 $\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．
答案
解析
备注
