$\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，设 $(\sin B-\sin C)^2=\sin^2 A-\sin B\sin C$．
（1）求 $A$；
（2）若 $\sqrt{2}a+b=2c$，求 $\sin C$．
（1）求 $A$；
（2）若 $\sqrt{2}a+b=2c$，求 $\sin C$．
【难度】
【出处】
2019年高考全国I卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由已知得 $\sin^2B +\sin^2 C-\sin^2 A=\sin B\sin C$，故由正弦定理得 $b^2+c^2-a^2=bc$．
由余弦定理得 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{1}{2}$．
因为 $0^\circ<A<180^\circ$，所以 $A=60^\circ$．
（2）由（1）知 $B=120^\circ-\angle C$，由题设及正弦定理得 $\sqrt{2}\sin A+\sin (120^\circ-C)=2\sin C$，
即 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos C +\dfrac{1}{2}\sin C=2\sin C$，可得 $\cos(C+60^\circ)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
由于 $0^\circ<C<120^\circ$，所以 $\sin(C+60^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故
$\sin C=\sin(C+60^\circ-60^\circ)=\sin (C+60^\circ)\cos 60^\circ-\cos(C+60^\circ)\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
由余弦定理得 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{1}{2}$．
因为 $0^\circ<A<180^\circ$，所以 $A=60^\circ$．
（2）由（1）知 $B=120^\circ-\angle C$，由题设及正弦定理得 $\sqrt{2}\sin A+\sin (120^\circ-C)=2\sin C$，
即 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos C +\dfrac{1}{2}\sin C=2\sin C$，可得 $\cos(C+60^\circ)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
由于 $0^\circ<C<120^\circ$，所以 $\sin(C+60^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，故
$\sin C=\sin(C+60^\circ-60^\circ)=\sin (C+60^\circ)\cos 60^\circ-\cos(C+60^\circ)\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
答案
解析
备注
