$11$ 分制乒乓球比赛，每赢一球得 $1$ 分，当某局打成 $10:10$ 平后，每球交换发球权，先多得 $2$ 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $0.5$，乙发球时甲得分的概率为 $0.4$，各球的结果相互独立．在某局双方 $10:10$ 平后，甲先发球，两人又打了 $X$ 个球该局比赛结束．
（1）求 $P(X=2)$；
（2）求事件“$X=4$ 且甲获胜”的概率．
（1）求 $P(X=2)$；
（2）求事件“$X=4$ 且甲获胜”的概率．
【难度】
【出处】
2019年高考全国II卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（（1）$X=2$ 就是 $10:10$ 平后，两人又打了 $2$ 个球该局比赛结束，则这 $2$ 个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此 $P(X=2)=0.5\times 0.4+(1–0.5)\times(1–0.4)=0.5$．
（2）$X=4$ 且甲获胜，就是 $10:10$ 平后，两人又打了 $4$ 个球该局比赛结束，且这 $4$ 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 $1$ 分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为 $[0.5\times(1–0.4)+(1–0.5)\times 0.4]\times 0.5\times 0.4=0.1$．
（2）$X=4$ 且甲获胜，就是 $10:10$ 平后，两人又打了 $4$ 个球该局比赛结束，且这 $4$ 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 $1$ 分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为 $[0.5\times(1–0.4)+(1–0.5)\times 0.4]\times 0.5\times 0.4=0.1$．
答案
解析
备注
