如图，在极坐标系中 $Ox$ 中，$A(2,0),B\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4}\right),C\left(\sqrt{2},\dfrac{3\pi}{4}\right),D(2,\pi)$，弧 $\overparen{AB},\overparen{BC},\overparen{CD}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0),\left(1,\dfrac{\pi}{2}\right),(1,\pi)$，曲线 $M_1$ 是弧 $\overparen{AB}$，曲线 $M_2$ 是弧 $\overparen{BC}$，曲线 $M_3$ 是弧 $\overparen{CD}$．
（1）分别写出 $M_1,M_2,M_3$ 的极坐标方程；
（2）曲线 $M$ 由 $M_1,M_2,M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $|OP|=\sqrt{3}$，求 $P$ 的极坐标．
（1）分别写出 $M_1,M_2,M_3$ 的极坐标方程；
（2）曲线 $M$ 由 $M_1,M_2,M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $|OP|=\sqrt{3}$，求 $P$ 的极坐标．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由题设可得，弧 $\overparen{AB},\overparen{BC},\overparen{CD}$ 所在圆的极坐标方程分别为 $\rho=2\cos\theta,\rho=2\sin\theta,\rho=-2\cos\theta$．
所以 $M_1$ 的极坐标方程为 $\rho=2\cos\theta(0\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{4})$，$M_2$ 的极坐标方程为 $\rho=2\sin\theta(\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{3\pi}{4})$，$M_3$ 的极坐标方程为 $\rho=-2\cos\theta(\dfrac{3\pi}{4}\leqslant\theta\leqslant\pi)$．
（2）设 $P(\rho,\theta)$，由题设及（1）知
若 $0\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{4}$，则 $2\cos\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$；
若 $\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{3\pi}{4}$，则 $2\sin\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$；
若 $\dfrac{3\pi}{4}\leqslant\theta\leqslant\pi$，则 $-2\cos\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$．
综上，$P$ 的极坐标为 $\left(\sqrt{3},\dfrac{\pi}{6}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{\pi}{3}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{5\pi}{6}\right)$．
所以 $M_1$ 的极坐标方程为 $\rho=2\cos\theta(0\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{4})$，$M_2$ 的极坐标方程为 $\rho=2\sin\theta(\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{3\pi}{4})$，$M_3$ 的极坐标方程为 $\rho=-2\cos\theta(\dfrac{3\pi}{4}\leqslant\theta\leqslant\pi)$．
（2）设 $P(\rho,\theta)$，由题设及（1）知
若 $0\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{4}$，则 $2\cos\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$；
若 $\dfrac{\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant \dfrac{3\pi}{4}$，则 $2\sin\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$；
若 $\dfrac{3\pi}{4}\leqslant\theta\leqslant\pi$，则 $-2\cos\theta=\sqrt{3}$，解得 $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$．
综上，$P$ 的极坐标为 $\left(\sqrt{3},\dfrac{\pi}{6}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{\pi}{3}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 或 $\left(\sqrt{3},\dfrac{5\pi}{6}\right)$．
答案
解析
备注
