设 $x,y,z\in\mathbb{R}$，且 $x+y+z=1$．
（1）求 $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ 的最小值；
（2）若 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geqslant\dfrac{1}{3}$ 成立，证明：$a\leqslant -3$ 或 $a\geqslant -1$．
（1）求 $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ 的最小值；
（2）若 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geqslant\dfrac{1}{3}$ 成立，证明：$a\leqslant -3$ 或 $a\geqslant -1$．
【难度】
【出处】
2019年高考全国III卷（理）
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由于 $[(x-1)+(y+1)+(z+1)]^2=(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]\leqslant 3[(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2]$，
故由已知得 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\geqslant\dfrac{4}{3}$，
当且仅当 $x=\dfrac{5}{3},y=–\dfrac{1}{3},z=-\dfrac{1}{2}$ 时等号成立．
所以 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$ 的最小值为 $\dfrac{4}{3}$．
（2）由于
$[(x-2)+(y-1)+(z-a)]^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]\leqslant 3[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2]$
，
故由已知 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geqslant \dfrac{(2+a)^2}{3}$，
当且仅当 $x=\dfrac{4-a}{3}$，$y=\dfrac{1-a}{3}$，$z=\dfrac{2a-2}{3}$ 时等号成立．
因此 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2$ 的最小值为 $\dfrac{(2+a)^2}{3}$．
由题设知 $\dfrac{(2+a)^2}{3}\geqslant\dfrac{1}{3}$，解得 $a\leqslant 3$ 或 $a\geqslant -1$．
故由已知得 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2\geqslant\dfrac{4}{3}$，
当且仅当 $x=\dfrac{5}{3},y=–\dfrac{1}{3},z=-\dfrac{1}{2}$ 时等号成立．
所以 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$ 的最小值为 $\dfrac{4}{3}$．
（2）由于
$[(x-2)+(y-1)+(z-a)]^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]\leqslant 3[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2]$
，
故由已知 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\geqslant \dfrac{(2+a)^2}{3}$，
当且仅当 $x=\dfrac{4-a}{3}$，$y=\dfrac{1-a}{3}$，$z=\dfrac{2a-2}{3}$ 时等号成立．
因此 $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2$ 的最小值为 $\dfrac{(2+a)^2}{3}$．
由题设知 $\dfrac{(2+a)^2}{3}\geqslant\dfrac{1}{3}$，解得 $a\leqslant 3$ 或 $a\geqslant -1$．
答案
解析
备注
