题目 已知函数 $f(x)={\rm{e}}^x-ax^2$ 问题1 若 $a=1$，证明：当 $x\ge0$ 时，$f(x)\ge1$； 答案1 略 解析1 容易得到 $f(0)=1$，$f^{\prime}(x)={\rm{e}}^x-2x$，$f^{{\prime}{\prime}}(x)={\rm{e}}^x-2$．<br/>所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,\ln2)$ 递减，在 $(\ln2,+\infty)$ 递增，且 $f^{\prime}(\ln2)=2-2\ln2>0$，<br/>故 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 单调递增，结合 $f(0)=1$，命题得证． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 只有一个零点，求 $a$． 答案2 略 解析2 $a=0$ 显然不可以，<br/>相当于 $\dfrac{1}{a}=\dfrac{x^2}{{\rm{e}}^x}$，令 $g(x)=\dfrac{x^2}{{\rm{e}}^x}$，$g^{\prime}(x)=\dfrac{2x-x^2}{{\rm{e}}^x}$<br/>故 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递增，$(2,+\infty)$ 单调递减，<br/>$g(2)=\dfrac{4}{{\rm{e}}^2}$，$g(0)=0$，$x\rightarrow{+\infty}$，$g(x)\rightarrow{0}$<br/>故 $\dfrac{1}{a}=\dfrac{4}{{\rm{e}}^2}$，$a=\dfrac{{\rm{e}}^2}{4}$． 备注2