已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}-x+a\ln{x}$．
【难度】
【出处】
2018年高考全国卷
【标注】
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讨论 $f(x)$ 的单调性；标注答案略解析$f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}-1+\dfrac{a}{x}=\dfrac{-x^2+ax-1}{x^2}$
若 $a\le2$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减；
若 $a>2$，令 $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$，$x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$，
$f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty)$ 上分别单调递减，$(x_1,x_2)$ 单调递增． -
若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2$．标注答案略解析容易得到 $x_1,x_2$ 为方程 $x^2-ax+1=0$ 的两个根，$x_1x_2=1,x_1+x_2=a>0$．
不妨设 $x_1>1>x_2$，
$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2$．命题等价于
$f(x_1)-(a-2)x_1<f(x_2)-(a-2)x_2$，整理可得
$\dfrac{1}{x_1}+x_1+(x_1+x_2)\ln{x_1}-(x_1+x_2)x_1<\dfrac{1}{x_2}+x_2+(x_1+x_2)\ln{x_2}-(x_1+x_2)x_2$ 即
$\ln{x_1}-x_1<\ln{x_2}-x_2$ 即
$2\ln{x_1}-x_1+\dfrac{1}{x_1}<0$
令函数 $g(x)=2\ln{x}-x+\dfrac{1}{x}$，$g^{\prime}(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2}\le0$，故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减，又 $g(1)=0$，
又 $x_1>1$，故 $g(x_1)<0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
