题目 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $\sin (A+C)=8\sin^{2}\dfrac{B}{2}$． 问题1 求 $\cos B$； 答案1 $\dfrac{15}{17}$ 解析1 由题设及 $A+B+C=\pi$ 得 $\sin B=8\sin^{2}\dfrac{B}{2}$，故\[\sin B\overset{[a]}=4(1-\cos B).\]上式两边平方，<br/>（推导中用到：[a]）<br/>整理得\[17\cos^{2}B-32\cos B+15=0.\]解得 $\cos B=1$（舍去），$\cos B=\dfrac{15}{17}$． 备注1 问题2 若 $a+c=6$，$\triangle ABC$ 面积为 $2$，求 $b$． 答案2 $b=2$ 解析2 由 $\cos B=\dfrac{15}{17}$ 得 $\sin B=\dfrac{8}{17}$，故 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{4}{17}ac$．又 $S_{\triangle ABC}=2$，则 $ac=\dfrac{17}{2}$．由余弦定理及 $a+c=6$ 得\[\begin{split}b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B\\&=(a+c)^{2}-2ac(1+\cos B)\\&=36-2\times \dfrac{17}{2}\times \left(1-\dfrac{15}{17}\right)\\&=4.\end{split}\]所以 $b=2$． 备注2