题目 在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $\rho\cos\theta=4$． 问题1 $M$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点 $P$ 在线段 $OM$ 上，且满足 $|OM|\cdot |OP|=16$，求点 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标系方程； 答案1 $(x-2)^2+y^2=4$ 解析1 设 $|OP|=\rho_{1}$，由 $|OM|\cdot |OP|=16$ 得\[\rho_{1}\cdot \dfrac{4}{\cos\theta}=16,\]所以点 $P$ 的极坐标方程为\[\rho_{1}=4\cos\theta,\]故 $P$ 的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标系方程为\[(x-2)^{2}+y^{2}=4.\] 备注1 问题2 设点 $A$ 的极坐标为 $\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)$，点 $B$ 在曲线 $C_{2}$ 上，求 $\triangle OAB$ 的面积的最大值． 答案2 $2+\sqrt 3$ 解析2 由 $O$、$A$ 的坐标可知，点 $O$、$A$ 均在曲线 $C_{2}$ 上，要使 $\triangle OAB$ 的面积最大，则需 $B$ 到弦 $OA$ 的距离 $h$ 最大，最大值为 $d+r$，其中 $d$ 为圆心到弦 $OA$ 的距离．于是\[S_{\triangle OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot h\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot (d+r)=2+\sqrt 3.\]所以 $\triangle OAB$ 的面积的最大值为 $2+\sqrt 3$． 备注2