题目 已知 $a>0$，$b>0$，$a^{3}+b^{3}=2$，证明： 问题1 $(a+b)(a^{5}+b^{5})\geqslant 4$； 答案1 略 解析1 \[\begin{split}(a+b)(a^{5}+b^{5})&=a^{6}+ab^{5}+ba^{5}+b^{6}\\&=(a^{3}+b^{3})^{2}-2a^{3}b^{3}+ab^{5}+ba^{5}\\&=4+ab(a^{2}-b^{2})^{2}\\&\geqslant 4.\end{split}\]于是有 $(a+b)(a^{5}+b^{5})\geqslant 4$． 备注1 问题2 $a+b\leqslant 2$． 答案2 略 解析2 \[\begin{split}2=a^{3}+b^{3}&=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\\&=(a+b)\left[(a+b)^{2}-3ab\right]\\&\overset{[a]}\geqslant (a+b)\left[(a+b)^{2}-3\cdot \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\right]\\&=\dfrac{(a+b)^{3}}{4}.\end{split}\]（推导中用到：[a]）<br/>所以 $a+b\leqslant 2$． 备注2