题目 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 $4$ 元，售价每瓶 $6$ 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 $2$ 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：$^{\circ}\mathrm C$）有关．如果最高气温不低于 $25$，需求量为 $500$ 瓶；如果最高气温位于区间 $[20,25)$，需求量为 $300$ 瓶；如果最高气温低于 $20$，需求量为 $200$ 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \mbox{最高气温}&[10,15)&[15,20)&[20,25)&[25,30)&[30,35)&[35,40) \\ \hline \mbox{天数}&2&16&36&25&7&4 \\ \hline \end{array}$$以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． 问题1 求六月份这种酸奶一天的需求量 $X$（单位：瓶）的分布列； 答案1 $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&200&300&500 \\ \hline P&\dfrac 15&\dfrac 25 &\dfrac 25 \\ \hline \end{array}$$ 解析1 由频率分布表，可知：六月份一天最高气温（单位：$^{\circ}\mathrm C$）位于区间 $[25,40)$ 内的概率为 $\dfrac {25+7+4}{90}=\dfrac 25$；位于区间 $[20,25)$ 内的概率为 $\dfrac {36}{90}=\dfrac 25$；位于区间 $[10,20)$ 内的概率为 $\dfrac {2+16}{90}=\dfrac 15$．又六月份这种酸奶一天的需求量 $X$（单位：瓶）的可能取值为 $200$，$300$ 和 $500$，所以\[\begin{split}P(X=200)&=\dfrac 15,\\ P(X=300)&=\dfrac 25,\\ P(X=500)&=\dfrac 25.\end{split}\]即 $X$ 的分布列为：$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&200&300&500 \\ \hline P&\dfrac 15&\dfrac 25 &\dfrac 25 \\ \hline \end{array}$$ 备注1 问题2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 $n$（单位：瓶）为多少时，$Y$ 的数学期望达到最大值？ 答案2 $300$ 解析2 很明显，当 $200 \leqslant n \leqslant 500$ 时，$Y$ 的数学期望才能达到最大值．<br/>当 $200 \leqslant n < 300$ 时，$Y$ 的分布列为：$$\begin{array}{|c|c|c| }\hline Y&800-2n&2n \\ \hline P&\dfrac 15&\dfrac 45 \\ \hline \end{array}$$此时，$Y$ 的数学期望为$$E(Y)=\dfrac 15(800-2n)+\dfrac 45 \cdot 2n=\dfrac 65n+160.$$当 $300 \leqslant n \leqslant 500$ 时，$Y$ 的分布列为：$$\begin{array}{|c|c|c|c| }\hline Y&800-2n&1200-2n&2n \\ \hline P&\dfrac 15&\dfrac 25 &\dfrac 25 \\ \hline \end{array}$$此时，$Y$ 的数学期望为$$E(Y)=\dfrac 15(800-2n)+\dfrac 25(1200-2n) +\dfrac 25 \cdot 2n=-\dfrac 25n+640.$$由于 $E(Y)$ 在 $n \in [200,300)$ 上单调递增，在 $n \in [300,500]$ 上单调递减，可知当 $n=300$ 时，$Y$ 的数学期望达到最大值为 $520$ 元． 备注2