题目 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=2+t,\\y=kt,\end{cases}$（$t$ 为参数），直线 $l_2$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=-2+m,\\y=\dfrac mk,\end{cases}$（$m$ 为参数），设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，当 $k$ 变化时，$P$ 的轨迹为曲线 $C$． 问题1 写出 $C$ 的普通方程； 答案1 $C$ 的普通方程为 $x^2-y^2=4(y\neq 0) $． 解析1 $l_1$、$l_2$ 的普通方程分别为 $l_1:y=k(x-2)$、$l_2:y=\dfrac 1k(x+2)$．<br/>设 $P(x,y)$，则由题意，得$$\begin{cases} y=k(x-2),\\ y=\dfrac 1k(x+2),\end{cases}$$消去参数 $k$ 得$$x^2-y^2=4(y\neq 0).$$所以 $C$ 的普通方程为 $x^2-y^2=4(y\neq 0) $． 备注1 问题2 以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 $l_3:\rho (\cos \theta+\sin \theta)-\sqrt 2=0$，$M$ 为 $l_3$ 与 $C $ 的交点，求 $M$ 的极径． 答案2 $\sqrt 5$ 解析2 $C$ 的极坐标方程为$$ \rho ^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta)=4(0 <\theta <2\pi,\theta \neq \pi).$$联立$$\begin{cases}\rho ^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta)=4,\\\rho (\cos \theta +\sin \theta)=\sqrt 2,\end{cases}$$得$$\cos \theta -\sin \theta=2(\cos \theta +\sin \theta).$$故 $\tan \theta =-\dfrac {1}{3}$，进而$$\cos ^2\theta =\dfrac {9}{10},\quad \sin ^2\theta=\dfrac {1}{10}.$$代入 $ \rho ^2(\cos ^2\theta -\sin ^2\theta)=4$，得 $\rho ^2=5$，所以交点 $M$ 的极径为 $\sqrt 5$． 备注2