为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 $16$ 个零件，并测量其尺寸（单位：$\rm cm$）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（理）
【标注】
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假设生产状态正常，记 $X$ 表示一天内抽取的 $16$ 个零件中其尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件数，求 $P(X\geqslant1)$ 及 $X$ 的数学期望；标注答案$P(X\geqslant 1)=0.0408$；$EX=0.0416$．解析抽取的一个零件的尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之内的概率为 $0.9974$，从而零件的尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的概率为 $0.0026$，故 $X\sim B(16,0.0026)$．因此$$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0.9974^{16}=0.0408.$$$X$ 的数学期望为 $EX=16\times 0.0026=0.0416$．
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一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的 $16$ 个零件的尺寸：\[\begin{array}{cccccccc}
9.95&10.12&9.96&9.96&10.01&9.92&9.98&10.04\\
10.26&9.91&10.13&10.02&9.22&10.04&10.05&9.95
\end{array}\]经计算得 $\displaystyle \bar x=\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97$，$\displaystyle s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}-16{\bar x}^2)}\approx 0.212$，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，$i=1,2,\cdots,16$．
用样本平均数 $\bar x$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\hat{ \mu}$，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\hat{\sigma}$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\hat{\mu}-3\hat{\sigma},\hat{\mu}+3\hat{\sigma})$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$（精确到 $0.01$）．
附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，则 $P(\mu–3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.997 4$，$0.997 4^{16}\approx 0.959 2$，$\sqrt{0.008}\approx 0.09$．标注答案（i）合理；（ii）需对当天的生产过程进行检查，$\mu$ 的估计值为 $10.02$，$\sigma$ 的估计值为 $0.09$．解析（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的概率只有 $0.0026$，一天内抽取的 $16$ 个零件中，出现尺寸在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 之外的零件的概率只有 $0.0408$，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ii）由 $\bar x=9.97$，$s\approx 0.212$，得 $\mu$ 的估计值为 $\hat \mu=9.97$，$\sigma$ 的估计值为 $\hat \sigma=0.212$，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 $(\hat\mu-3\hat\sigma,\hat\mu+3\hat\sigma)$ 之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除 $(\hat\mu-3\hat\sigma,\hat\mu+3\hat\sigma)$ 之外的数据 $9.22$，剩下数据的平均数为 $\dfrac 1{15}(16\cdot 9.97-9.22)=10.02$，因此 $\mu$ 的估计值为 $10.02$．
$\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{16}{x_i^2}=16\cdot 0.212^2+16\cdot 9.97^2\approx 1591.134$，剔除 $(\hat\mu-3\hat\sigma,\hat\mu+3\hat\sigma)$ 之外的数据 $9.22$，剩下数据的样本方差为 $\dfrac 1{15}(1591.134-9.22^2-15\cdot 10.02^2)\approx 0.008$，因此 $\sigma$ 的估计值为 $\sqrt{0.008}\approx 0.09$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
