在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=3\cos \theta,\\y=\sin \theta,\end{cases}$（$\theta$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=a+4t,\\y=1-t,\end{cases}$（$t$ 为参数）．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（文）
【标注】
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若 $a=-1$，求 $C$ 与 $l$ 的交点坐标；标注答案$(3,0)$，$\left(-\dfrac{21}{25},\dfrac{24}{25}\right)$．解析曲线 $C$ 的普通方程为 $\dfrac{x^2}{9}+y^2=1$，
当 $a=-1$ 时，直线 $l$的普通方程为 $x+4y-3=0$．
由$$\begin{cases}x+4y-3=0\\ \dfrac{x^2}{9}+y^2=1\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x=3,\\ y=0\end{cases}{\text{或}}\begin{cases}x=-\dfrac{21}{25},\\ y=\dfrac{24}{25}.\end{cases}$$从而 $C$ 与 $l$ 的交点坐标为 $(3,0)$，$\left(-\dfrac{21}{25},\dfrac{24}{25}\right)$． -
若 $C$ 上的点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{17}$，求 $a$．标注答案$a=8$ 或 $a=-16$．解析直线 $l$ 的普通方程为 $x+4y-a-4=0$，故 $C$ 上的点 $(3\cos \theta ,\sin \theta)$ 到 $l$ 的距离为$$d=\dfrac{|3\cos \theta +4\sin \theta -a-4|}{\sqrt{17}}.$$当 $a\geqslant -4$ 时，$d$ 的最大值为 $\dfrac{a+9}{\sqrt{17}}$．由题设得 $\dfrac{a+9}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}$，所以 $a=8$；
当 $a<-4$ 时，$d$ 的最大值为 $\dfrac{-a+1}{\sqrt{17}}$．由题设得 $\dfrac{-a+1}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}$，所以 $a=-16$．
综上，$a=8$ 或 $a=-16$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
