已知 $\{x_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_{1}+x_{2}=3$，$x_{3}-x_{2}=2$．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
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求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；标注答案$x_n=2^{n-1}$解析设数列 $\{x_{n}\}$ 的公比为 $q$，由已知 $q>0$，由题意得\[\begin{cases}x_{1}+x_{1}q=3, \\ x_{1}q^{2}-x_{1}q=2,\end{cases}\]所以\[3q^{2}-5q-2=0.\]因为 $q>0$，所以 $q=2,x_{1}=1$，因此数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式为 $x_{n}=2^{n-1}$．
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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，依次连接点 $P_{1}(x_{1},1)$，$P_{2}(x_{2},2)$，$\cdots$，$P_{n+1}(x_{n+1},n+1)$ 得到折线 $P_{1}P_{2}\cdots P_{n+1}$，求由该折线与直线 $y=0$，$x=x_{1}$，$x=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $T_{n}$．标注答案$T_n=\dfrac{(2n-1)\cdot 2^n+1}{2}$解析过 $P_{1},P_{2},\cdots,P_{n+1}$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $Q_{1},Q_{2},\cdots,Q_{n+1}$．由第（1）小问得\[x_{n+1}-x_{n}=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1},\]记梯形 $P_{n}P_{n+1}Q_{n+1}Q_{n}$ 的面积为 $b_{n}$，由题意$$b_{n}=\dfrac{n+n+1}{2}\cdot 2^{n-1}=(2n+1)\cdot 2^{n-2},$$所以\[\begin{split}T_{n}&=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}\\&=3\cdot 2^{-1}+5\cdot 2^{0}+7\cdot 2^{1}+\cdots\cdots +(2n-1)\cdot 2^{n-1}+(2n+1)\cdot 2^{n-2},\cdots\cdots\text{ ① }\end{split}\]又\[2T_{n}=3\cdot 2^{0}+5\cdot 2^{1}+7\cdot 2^{2}+\cdots+(2n-1)\cdot 2^{n-2}+(2n+1)\cdot 2^{n-1}\cdots\cdots \text{ ② }\]① $-$ ② 得\[\begin{split}-T_{n}&\overset{[a]}=3\cdot 2^{-1}+(2+2^{2}+\cdots+2^{n-1})-(2n-1)\cdot 2^{n-1}\\&=\dfrac{3}{2}+\dfrac{2(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\cdot 2^{n-1}.\end{split}\]（推导中用到：[a]）
所以 $T_{n}=\dfrac{(2n-1)\cdot 2^{n}+1}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
