如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $\dfrac 12$，两准线之间的距离为 $8$，点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，且位于第一象限，过点 $F_1$ 作直线 $PF_1$ 的垂线 $l_1$，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线 $l_2$．
【难度】
【出处】
2017年高考江苏卷
【标注】
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求椭圆 $E$ 的标准方程；标注答案$\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$解析设椭圆的半焦距为 $c$．因为椭圆 $E$ 的离心率为 $\dfrac 12 $，两准线之间的距离为 $8$，所以$$\dfrac ca=\dfrac 12, \dfrac {2a^2}{c}=8,$$解得 $a=2$，$c=1$，于是$$b=\sqrt {a^2-c^2}=\sqrt 3,$$因此椭圆 $E$ 的标准方程为 $\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$．
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若直线 $l_1$，$l_2$ 的交点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，求点 $P$ 的坐标．标注答案略解析$\left(\dfrac {4\sqrt 7}{7},\dfrac {3\sqrt 7}{7}\right)$
提示：由（1）知 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$．设 $P(x_0,y_0)$，因为 $P$ 为第一象限内的点，所以 $x_0>0$，$y_0>0$．
当 $x_0=1$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 相交于 $F_1$，与题设不符；
当 $x_0 \neq 1$ 时，直线 $PF_1$ 的斜率是 $\dfrac {y_0}{x_0+1}$，直线 $PF_2$ 的斜率是 $\dfrac {y_0}{x_0-1}$，因为 $l_1 \perp PF_1$，$l_2 \perp PF_2$，所以 直线 $l_1$ 的斜率是 $-\dfrac {x_0+1}{y_0}$，直线 $l_2$ 的斜率是 $-\dfrac {x_0-1}{y_0}$，从而 $l_1$ 的方程为$$y=-\dfrac {x_0+1}{y_0}(x+1),\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$$l_2$ 的方程为$$y=-\dfrac {x_0-1}{y_0}(x-1),\quad \cdots\cdots \text{ ② }$$由 ①②，解得 $x=-x_0$，$y=\dfrac {1-x_0^2}{y_0}$，所以 $Q \left(-x_0,\dfrac {1-x_0^2}{y_0}\right)$，因为点 $Q$ 在椭圆上，由对称性得 $\dfrac {1-x_0^2}{y_0}=\pm y_0$，即 $x_0^2-y_0^2=1$ 或 $x_0^2+y_0^2=1$．又点 $P$ 在椭圆上，故 $\dfrac {x_0^2}{4}+\dfrac {y_0^2}{3}=1$，由 $\begin{cases}x_0^2-y_0^2=1 ,\\ \dfrac {x_0^2}{4}+\dfrac {y_0^2}{3}=1, \end{cases}$ 得 $\begin{cases}x_0 =\dfrac {4\sqrt 7}{7}, \\ y_0 =\dfrac {3\sqrt 7}{7}; \end{cases}$ 而 $\begin{cases}x_0^2+y_0^2=1 ,\\ \dfrac {x_0^2}{4}+\dfrac {y_0^2}{3}=1, \end{cases}$ 无解．
因此点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac {4\sqrt 7}{7},\dfrac {3\sqrt 7}{7}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
