已知一个口袋中有 $m$ 个白球，$n$ 个黑球（$m,n\in \mathbb N^*$，$n\geqslant 2$），这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 $1,2,3,\cdots,m+n$ 的抽屉内，其中第 $k$ 次取出的球放入编号为 $k$ 的抽屉（$k=1,2,3,\cdots,m+n$．）$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
1 &2&3&\cdots&m+n \\ \hline
\end{array}$$
1 &2&3&\cdots&m+n \\ \hline
\end{array}$$
【难度】
【出处】
2017年高考江苏卷
【标注】
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试求编号为 $2$ 的抽屉内放的是黑球的概率 $p$；标注答案$p=\dfrac{n}{m+n}$解析无
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随机变量 $X$ 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，$E(X)$ 是 $X$ 的数学期望，证明：$E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}$．标注答案略解析根据题意，有\[\begin{split}
E(X)&\overset{[a]}=\sum\limits_{k=n}^{m+n}\left(\dfrac 1k\cdot \dfrac{{\rm C}_{k-1}^{n-1}}{{\rm C}_{m+n}^n}\right)\\
&=\dfrac{1}{{\rm C}_{m+n}^n}\cdot \sum\limits_{k=n}^{m+n}\dfrac {{\rm C}_{k-1}^{n-1}}{k}\\
&<\dfrac{1}{{\rm C}_{m+n}^n}\cdot \sum\limits_{k=n}^{m+n}\dfrac {{\rm C}_{k-1}^{n-1}}{k-1}\\
&=\dfrac{1}{{\rm C}_{m+n}^n}\cdot \sum\limits_{k=n}^{m+n}\dfrac {{\rm C}_{k-2}^{n-2}}{n-1}\\
&=\dfrac {1}{(n-1){\rm C}_{m+n}^n}\cdot \left({\rm C}_{n-2}^{n-2}+{\rm C}_{n-1}^{n-2}+\cdots+{\rm C}_{m+n-2}^{n-2}\right)\\
&=\dfrac {1}{(n-1){\rm C}_{m+n}^n}\cdot {\rm C}_{m+n-1}^{n-1}\\
&=\dfrac{n}{(m+n)(n-1)},
\end{split}\]（推导中用到：[a]）
所以原命题成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
