已知函数 $f(x)=(x-\sqrt{2x-1})\mathrm e^{-x}\left(x \geqslant \dfrac 12\right)$．
【难度】
【出处】
2017年高考浙江卷
【标注】
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求 $f(x)$ 的导函数；标注答案$f'\left(x\right)=(1-x)\left(1- \dfrac {2}{\sqrt {2x-1}}\right)\mathrm e^{-x} $解析根据导数的运算法则，得\[\begin{split}f'(x)&=(x-\sqrt{2x-1})'\mathrm e^{-x}+(x-\sqrt{2x-1})\left(\mathrm e^{-x}\right)'\\&=\left(1-\dfrac 12\times\dfrac {2}{\sqrt {2x-1}}\right)\mathrm e^{-x}-(x-\sqrt{2x-1})\mathrm e^{-x} \\&=(1-x)\left(1- \dfrac {2}{\sqrt {2x-1}}\right)\mathrm e^{-x}.\end{split}\]
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求 $f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的取值范围．标注答案$\left[0,\dfrac 12 \mathrm e^{-\frac 12}\right]$解析令 $f'\left(x\right)=(1-x)\left(1- \dfrac {2}{\sqrt {2x-1}}\right)\mathrm e^{-x}=0 $，得 $x_1=1$，$x_2=\dfrac 52$．则 $x$，$f'(x)$，$f(x)$ 的关系如下：$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,1\right)&1&\left(1,\dfrac 52 \right)&\dfrac 52&\left(\dfrac 52, +\infty\right) \\ \hline f'(x)&&-&0&+&0&- \\ \hline f(x)&\dfrac 12 \mathrm e^{-\frac 12}&\searrow&0&\nearrow&\dfrac 12 \mathrm e^{-\frac 52}&\searrow \\ \hline \end{array}$$又 $f(x)=(x-\sqrt{2x-1})\mathrm e^{-x}\geqslant 0$，所以 $f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$ 上的取值范围$\left[0,\dfrac 12 \mathrm e^{-\frac 12}\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
