题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$．已知 $a>b$，$a=5$，$c=6$，$\sin B=\dfrac35$． 问题1 求 $b$ 和 $\sin A$ 的值； 答案1 $b=\sqrt{13}$，$\sin A=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$； 解析1 由 $a>b$，故角 $B$ 为锐角，又 $\sin B=\dfrac35$，再结合同角三角函数基本关系式，得$$\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}=\dfrac45,$$由余弦定理，可得$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cdot\dfrac45=13,$$因此 $b=\sqrt{13}$，结合正弦定理，得$$\sin A=a\cdot\dfrac{\sin B}{b}=5\cdot\dfrac{3}{5\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}.$$ 备注1 问题2 求 $\sin\left(2A+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的值． 答案2 $\dfrac{7\sqrt2}{26}$ 解析2 由 $a<c$，所以角 $A$ 为锐角，又 $\sin A=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，再结合同角三角函数基本关系式，得$$\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13},$$又由二倍角公式，可得$$\sin 2A=2\sin A\cos A=\dfrac{12}{13},\cos 2A=1-2\sin^2A=-\dfrac{5}{13},$$再根据和差角公式，得$$\sin\left(2A+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}(\sin2A+\cos 2A)=\dfrac{7\sqrt2}{26}.$$ 备注2