从甲地到乙地要经过 $3$ 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14$．
【难度】
【出处】
2017年高考天津卷（理）
【标注】
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记 $X$ 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；标注答案$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3\\ \hline P&\dfrac14&\dfrac{11}{24}&\dfrac14&\dfrac{1}{24}\\ \hline\end{array}$
$E(X)=\dfrac{13}{12}$．解析随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$，则\[\begin{split}&P(X=0)=\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac34=\dfrac14,\\&P(X=1)=\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac34+\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac34+\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac14=\dfrac{11}{24},\\&P(X=2)=\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac34+\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac14+\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac14=\dfrac{1}{4},\\&P(X=3)=\dfrac12\cdot\dfrac13\cdot\dfrac14=\dfrac{1}{24},\end{split}\]因此，随机变量 $X$ 的分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3\\ \hline P&\dfrac14&\dfrac{11}{24}&\dfrac14&\dfrac{1}{24}\\ \hline\end{array}$$数学期望$E(X)=0\cdot\dfrac14+1\cdot\dfrac{11}{24}+2\cdot\dfrac14+3\cdot\dfrac{1}{24}=\dfrac{13}{12}$． -
若有 $2$ 辆车独立地从甲地到乙地，求这 $2$ 辆车共遇到 $1$ 个红灯的概率．标注答案$\dfrac{11}{48}$解析由第一小问知，任何一辆车从甲地到乙地不遇见红灯的概率为 $\dfrac14$，遇见一个红灯的概率为 $\dfrac{11}{24}$．
设这两辆车共遇见 $1$ 个红灯为事件 $A$，则 $P(A)=2\cdot\dfrac14\cdot\dfrac{11}{24}=\dfrac{11}{48}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
