题目 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_n(n\in\mathbb N^*)$，$\{b_n\}$ 是首项为 $2$ 的等比数列，且公比大于 $0$，$b_2+b_3=12$，$b_3=a_4-2a_1$，$S_{11}=11b_4$． 问题1 求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=3n-2$，$b_n=2^n$ 解析1 设等差数列$\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列$\{b_n\}$ 的公比为 $q$，由题可知 $b_1=2$，因此有$$b_2+b_3=b_1(q+q^2)=2(q+q^2)=12,$$整理得 $q^2+q-6=0$，结合 $q>0$，解得 $q=2$，因此 $b_n=2^n$．<br/>题中条件 $b_3=a_4-2a_1$ 和 $S_{11}=11b_4$ 可整理得$$3d-a_1=8,a_6=a_1+5d=16,$$联立解得 $a_1=1,d=3$，因此 $a_n=3n-2$．<br/>所以，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=3n-2$，数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=2^n$． 备注1 问题2 求数列 $\{a_{2n}b_{2n-1}\}$ 的前 $n$ 项和 $(n\in\mathbb N^*)$． 答案2 $T_n=\left(n-\dfrac23\right)\cdot4^{n+1}+\dfrac83$ 解析2 由第一小问可知 $a_{2n}=2(3n-1),b_{2n-1}=2\cdot4^{n-1}$，因此$$a_{2n}b_{2n-1}=(3n-1)\cdot4^n.$$设数列 $\{a_{2n}b_{2n-1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则有\[\begin{split}T_n&=2\cdot4+5\cdot4^2+8\cdot4^3+\cdots+(3n-1)\cdot4^n,\\ 4T_n&=\qquad\quad2\cdot4^2+5\cdot4^3+\cdots+(3n-4)\cdot4^n+(3n-1)\cdot4^{n+1},\end{split}\]上述两式相减，得$$-3T_n=2\cdot4+(3\cdot4^2+3\cdot4^3+\cdots+3\cdot4^n)-(3n-1)\cdot4^{n+1}=-(3n-2)\cdot4^{n+1}-8,$$整理得 $T_n=\left(n-\dfrac23\right)\cdot4^{n+1}+\dfrac83$． 备注2