题目 设 $a\in\mathbb Z$，已知定义在 $\mathrm R$ 上的函数 $f(x)=2x^4+3x^3-3x^2-6x+a$ 在区间 $(1,2)$ 内有一个零点 $x_0$，$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． 问题1 求 $g(x)$ 的单调区间； 答案1 单调递增区间为 $(-\infty,-1)$ 和 $\left(\dfrac 14,+\infty\right)$；<br/>单调递减区间为 $\left(-1,\dfrac 14\right)$． 解析1 函数 $g(x)$ 为\[g(x)=8x^3+9x^2-6x-6,\]其导函数为\[g'(x)=24x^2+18x-6=6(4x-1)(x+1),\]因此函数 $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1)$ 和 $\left(\dfrac 14,+\infty\right)$；单调递减区间为 $\left(-1,\dfrac 14\right)$． 备注1 问题2 设 $m\in[1,x_0)\cup(x_0,2]$，函数 $h(x)=g(x)(m-x_0)-f(m)$，求证：$h(m)h(x_0)<0$； 答案2 略 解析2 令 $\varphi(x)=g(x)(x-x_0)-f(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=g'(x)(x-x_0),\]而在 $[1,2]$ 上，$g'(x)>0$，因此 $\varphi(x)$ 在 $[1,x_0)$ 上单调递减，在 $(x_0,2]$ 上单调递增，进而在 $[1,x_0)\cup (x_0,2]$ 上，$\varphi(x)>0$，故\[h(m)=\varphi(m)>0.\]令 $\mu(x)=g(x_0)(x-x_0)-f(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=g(x_0)-g(x),\]而在 $[1,2]$ 上，$g(x)$ 单调递增，因此 $\mu(x)$ 在 $[1,x_0)$ 上单调递增，在 $(x_0,2]$ 上单调递减，进而在 $[1,x_0)\cup (x_0,2]$ 上，$\mu(x)<0$，故\[h(x_0)=\mu(m)<0.\]综上所述，有 $h(m)\cdot h(x_0)<0$，命题得证． 备注2 问题3 求证：存在大于 $0$ 的常数 $A$，使得对于任意的正整数 $p,q$，且 $\dfrac{p}{q}\in[1,x_0)\cup(x_0,2]$，满足 $\left|\dfrac{p}{q}-x_0\right|\geqslant\dfrac{1}{Aq^4}$． 答案3 略 解析3 由于函数 $h(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调，根据第（2）小题 $h(x)$ 在 $m$ 和 $x_0$ 之间存在唯一零点．令 $m=\dfrac pq$，$h(x)$ 在 $m$ 和 $x_0$ 之间的零点为 $x_1$，则有\[h(x_1)=g(x_1)\left(\dfrac pq-x_0\right)-f\left(\dfrac pq\right)=0,\]进而\[\left|\dfrac pq-x_0\right|=\dfrac{\left|f\left(\dfrac pq\right)\right|}{g(x_1)}=\dfrac{\left|2p^4+3p^3q-3p^2q^2-6pq^3+aq^4\right|}{g(x_1)\cdot q^4},\]由于 $\dfrac pq\ne x_0$，而函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 内的零点唯一，因此$$\left|2p^4+3p^3q-3p^2q^2-6pq^3+aq^4\right|\ne 0,$$进而有\[\left|2p^4+3p^3q-3p^2q^2-6pq^3+aq^4\right|\geqslant 1,\]又因为 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，所以$$g(x_1)\in[g(1),g(2)]=[5,82],$$因此取 $A=82$ 即可，因此命题得证． 备注3