题目 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $b+c=2a\cos B$． 问题1 证明：$A=2B$； 答案1 略 解析1 利用正弦定理转化为角之间的关系，然后根据辅助角公式、诱导公式化简即可．由正弦定理得\[\sin B+\sin C=2\sin A\cos B,\]故\[\begin{split}2\sin A\cos B&\overset{\left[a\right]}=\sin B+\sin\left(A+B\right)\\&\overset{\left[b\right]}=\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B,\end{split}\]（推导中用到：[a][b]）<br/>于是\[\sin B=\sin \left(A-B\right).\]又 $A,B\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，故 $0<A-B<{\mathrm \pi} $，所以\[B={\mathrm \pi} -\left(A-B\right) 或 B=A-B,\]因此\[A={\mathrm \pi} \left( 舍 \right) 或 A=2B,\]所以 $A=2B$． 备注1 问题2 若 $\triangle ABC$ 的面积 $S=\dfrac{a^2}4$，求角 $A$ 的大小． 答案2 $\dfrac{\mathrm \pi} {4}$ 解析2 利用面积公式与正弦定理进行转化，注意结合倍角公式、诱导公式等．由 $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ 得$\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$，故有\[\sin B \sin C \overset{\left[a\right]}=\dfrac{1}{2}\sin 2B \overset{\left[b\right]}=\sin B \cos B,\]（推导中用到：[a][b]）<br/>因 $\sin B \ne 0$，得\[\sin C =\cos B.\]又 $B,C\in \left( 0,{\mathrm \pi} \right)$，所以$C=\dfrac{\mathrm \pi} {2}\pm B$．<br/>当 $B +C=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$A =\dfrac{\mathrm \pi} {2}$；<br/>当 $C-B =\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$A =\dfrac{\mathrm \pi} {4}$．<br/>综上，$A =\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 或 $A =\dfrac{\mathrm \pi} {4}$． 备注2