如图，在三棱台 $ABC-DEF$ 中，已知 $ 平面 BCFE\perp 平面 ABC$，$\angle ACB=90^\circ$，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$，$AC=3$．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
-
求证：$BF\perp 平面 ACFD$；标注答案略解析本题的关键在于把棱台还原为棱锥，然后结合已知条件来证明．延长 $AD$，$BE$，$CF$ 相交于一点 $K$，如图所示．
因为平面 $BCFE\perp 平面 ABC$，且 $AC\perp BC$，
所以 $AC\perp 平面 BCK$，因此 $BF\perp AC$．
又因为 $EF\parallel BC$，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$，
所以 $\triangle BCK$ 为等边三角形，且 $F$ 为 $CK$ 的中点，则 $BF\perp CK$．
所以 $BF\perp 平面 ACFD$． -
求二面角 $B-AD-F$ 的平面角的余弦值．标注答案$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$解析过点 $F$ 作 $FQ\perp AK$ 于 $Q$，连接 $BQ$．
因为 $BF\perp 平面 ACK$，所以 $BF\perp AK$，则 $AK\perp 平面 BQF$，所以 $BQ\perp AK$．
所以，$\angle BQF$ 是二面角 $B -AD-F$ 的平面角．
在 $\mathrm{Rt}\triangle ACK$ 中，$AC=3$，$CK =2$，得 $FQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$．
在 $\mathrm{Rt}\triangle BQF$ 中，$FQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$，$BF=\sqrt{3}$，得 $\cos \angle BQF=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
所以，二面角 $B-AD-F$ 的平面角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
