题目 在 $\triangle ABC $ 中，$AC=6$，$\cos B=\dfrac 45$，$C=\dfrac {\mathrm \pi} 4$． 问题1 求 $AB$ 的长； 答案1 $AB=5\sqrt{2}$． 解析1 本题已知两个角和其中一个角的对边，求另外一个角的对边，可以用正弦定理解答．因为 $ \cos B=\dfrac{4}{5}$，$B$ 为三角形的内角，所以<br/>$ \sin B=\dfrac{3}{5}$．<br/>又因为\[ \dfrac{AB}{\sin C }=\dfrac{AC}{\sin B},\]所以\[ \dfrac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{6}{\frac{3}{5}},\]解得 $AB=5\sqrt{2}$． 备注1 问题2 求 $\cos {\left(A-\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)}$ 的值． 答案2 $\cos {\left(A-\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)}=\dfrac {7\sqrt 2-\sqrt 6}{20}$． 解析2 先用诱导公式结合和差角公式求出 $\cos A$，再利用同角三角函数基本关系得到 $ \sin A$，最后利用和差角公式求出结果．因为\[\cos A\overset{\left[a\right]}=-\cos \left( C+B \right)\overset{\left[b\right]}=\sin B\sin C-\cos B\cos C,\]（推导中用到 [a]，[b]．）所以 $ \cos A=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}$．<br/>又因为 $ A$ 为三角形的内角，所以 $\sin A=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$．<br/>所以\[\begin {split}\cos \left(A-\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)&\overset{\left[c\right]}=\cos A\cos \dfrac {\mathrm \pi} {6}+\sin A\sin \dfrac {\mathrm \pi} {6}\\&=\dfrac {7\sqrt 2-\sqrt 6}{20}.\end{split}\]（推导中用到 [c]．） 备注2