现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $P-A_1B_1C_1D_1$，下部的形状是正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$（如图所示），并要求正四棱柱的高 $O_1O$ 是正四棱锥的高 $PO_1$ 的 $4$ 倍．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
-
若 $AB= 6 \mathrm m $，$PO_1=2 \mathrm m$，则仓库的容积是多少？标注答案$312 {{\mathrm m}^{3}}$解析考查简单组合体的体积求法．因为 $P{{O}_{1}}=2 {\mathrm m}$，则 $O{{O}_{1}}=8{\mathrm m}$．
又因为 $A_1B_1=AB=6{\mathrm m}$，所以\[\begin{split} {{V}_{P-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}&=\dfrac{1}{3}{{S}_{A_1B_1C_1D_1}}\cdot P{{O}_{1}}\\&=\dfrac{1}{3}\times {{6}^{2}}\times 2=24 \left({{\mathrm m}^{3}}\right),\end{split}\]\[\begin{split}{{V}_{ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}& = {{S}_{ABCD}}\cdot O{{O}_{1}}\\&={{6}^{2}}\times 8=288\left({{\mathrm m}^{3}}\right),\end{split}\]所以\[V = {{V}_{P-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}+{{V}_{ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=312\left({{\mathrm m}^{3}}\right).\]故仓库的容积为 $312 {{\mathrm m}^{3}}$． -
若正四棱锥的侧棱长为 $6 \mathrm m$，当 $PO_1$ 为多少时，仓库的容积最大？标注答案当 $P{{O}_{1}}=2\sqrt{3}\mathrm m$ 时，仓库的容积最大解析先写出仓库容积关于棱锥高 $ PO_1 $ 的函数关系，再利用导数分析函数的最值情况即可．设 $PO_1=x {\mathrm m} $，仓库的容积为 $V\left(x\right)$．则 $O{{O}_{1}}=4x{\mathrm m}$，${{A}_{1}}{{O}_{1}}=\sqrt{36-{{x}^{2}}}{\mathrm m}$，${{A}_{1}}{{B}_{1}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{36-{{x}^{2}}}{\mathrm m}$．所以\[\begin{split}{{V}_{P-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}} &= \dfrac{1}{3}{{S}_{A_1B_1C_1D_1}}\cdot P{{O}_{1}}\\&=\dfrac{1}{3}\times {{\left( \sqrt{72-2{{x}^{2}}} \right)}^{2}} x\\&=\dfrac{1}{3}\left( 72x-2{{x}^{3}} \right)\\& =24x-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}\left({{\mathrm m}^{3}}\right),\end{split}\]\[\begin{split}{{V}_{ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}} &= {{S}_{ABCD}}\cdot O{{O}_{1}}\\&={{\left( \sqrt{72-2{{x}^{2}}} \right)}^{2}}\times 4x\\&=288x-8{{x}^{3}}\left( {{\mathrm m}^{3}}\right),\end{split}\]所以\[\begin{split}V\left( x \right) &= {{V}_{P-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}+{{V}_{ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}\\&=24x-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+288x-8{{x}^{3}}\\&=-\dfrac{26}{3}{{x}^{3}}+312x\left( 0<x<6 \right).\end{split}\]而\[V'\left( x \right)=-26{{x}^{2}}+312=-26\left( {{x}^{2}}-12 \right)\left( 0<x<6 \right),\]所以当 $x\in \left( 0,2\sqrt{3} \right)$ 时，$V'\left( x \right)>0$，$V\left( x \right)$ 单调递增；
当 $x\in \left( 2\sqrt{3},6 \right)$ 时，$V'\left( x \right)<0$，$V\left( x \right)$ 单调递减．
因此，当 $x=2\sqrt{3}$ 时，$V\left( x \right)$ 取到最大值，即 $P{{O}_{1}}=2\sqrt{3}\mathrm m$ 时，仓库的容积最大．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
