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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=1+\dfrac 12t,\\ y=\dfrac {\sqrt 3}{2}t\end{cases}$（$t$ 为参数），椭圆 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\cos \theta,\\ y=2\sin \theta \end{cases}$（$\theta$ 为参数），设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，求线段 $AB$ 的长．
【难度】
【出处】
2016年高考江苏卷
【标注】
  • 知识点
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    解析几何
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    参数方程
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    解析几何
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    解析几何中的基本公式
    >
    两点间的距离公式
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    解析几何
  1. 标注
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      解析几何
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      参数方程
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      解析几何中的基本公式
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      两点间的距离公式
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      解析几何
    答案
    $ \dfrac{16}{7} $
    解析
    方法一椭圆 $C$ 方程化为普通方程\[{{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1.\]将直线 $l$ 的参数方程 $\begin{cases}x=1+\dfrac 12t,\\ y=\dfrac {\sqrt 3}{2}t\end{cases}$ 代入 $ {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1 $，得\[ \left(1+\dfrac 12t \right)^2+\dfrac {\left(\dfrac {\sqrt 3}{2}t\right)^2}{4}=1,\]即 $7t^2+16t=0$，解得 $t_1=0$，$t_2=-\dfrac {16}{7}$．所以\[ AB=|t_1-t_2|=\dfrac {16}{7}. \]方法二直线 $l$ 方程化为普通方程为\[\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0,\]椭圆 $C$ 方程化为普通方程为\[{{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1,\]联立得\[\begin{cases}
    & \sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0 ,\\
    & {{x}^{2}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1, \\
    \end{cases} \]解得 $ \begin{cases}x=1 ,\\
    y=0 ,\\
    \end{cases} $ 或 $ \begin{cases}x=-\dfrac{1}{7}, \\
    y=-\dfrac{8\sqrt{3}}{7}. \\
    \end{cases} $
    因此\[AB=\sqrt{{{\left( 1+\dfrac{1}{7} \right)}^{2}}+{{\left( 0+\dfrac{8\sqrt{3}}{7} \right)}^{2}}}=\dfrac{16}{7}.\]
题目 问题1 答案1 解析1 备注1
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