题目 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $2\left(\tan A+\tan B\right)=\dfrac{\tan A}{\cos B}+\dfrac{\tan B}{\cos A}$． 问题1 证明：$a+b=2c$； 答案1 略 解析1 要证明的是边之间的关系，故需要通过正余弦定理实现边角互化，又题中的条件含有正切，因此此题的大致思路应为：先切化弦，然后由正余弦定理角化边．由题意知\[2\left(\dfrac{\sin A}{\cos A}+\dfrac{\sin B}{\cos B}\right)=\dfrac{\sin A}{\cos A\cos B}+\dfrac{\sin B}{\cos A\cos B},\]化简得\[2\left(\sin A\cos B+\sin B\cos A\right)=\sin A+\sin B,\]即\[2\sin \left(A+B\right)=\sin A+\sin B.\]因为 $A+B+C={\mathrm \pi} $，所以\[\sin \left(A+B\right)=\sin \left({\mathrm \pi} -C\right)=\sin C.\]从而 $\sin A+\sin B=2\sin C$．由正弦定理得 $a+b=2c$． 备注1 问题2 求 $\cos C$ 的最小值． 答案2 $\dfrac{1}{2}$ 解析2 要求 $\cos C$ 的最小值，可以通过余弦定理将 $\cos C$ 用边表示出来，结合（1）问的结论，利用均值不等式，即可解决问题．由（1）知 $c=\dfrac{a+b}{2}$，所以\[\begin{split}\cos C&\overset{\left[a\right]}=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\\&=\dfrac{a^{2}+b^{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}{2ab}\\&=\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)-\dfrac{1}{4}\overset{\left[b\right]}\geqslant \dfrac{1}{2},\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）<br/>当且仅当 $a=b$ 时，等号成立．故 $\cos C$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}$． 备注2