题目 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3n^{2}+8n$，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$． 问题1 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； 答案1 $b_{n}=3n+1$ 解析1 由通项与和的关系，可以求出 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，然后结合条件，求得 $a_1$，$d$，从而得到 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式．由题意知，当 $n\geqslant 2$ 时，$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=6n+5$，<br/>当 $n=1$ 时，$a_{1}=S_{1}=11$，符合上式．<br/>所以 $a_{n}=6n+5$．<br/>设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公差为 $d$．由\[\begin{cases}a_{1}=b_{1}+b_{2},\\ a_{2}=b_{2}+b_{3},\end{cases}\]即\[\begin{cases}11=2b_{1}+d,\\17=2b_{1}+3d,\end{cases}\]可解得 $b_{1}=4$，$d=3$．所以 $b_{n}=3n+1$． 备注1 问题2 令 $c_{n}=\dfrac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$．求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$． 答案2 $ T_{n}=3n\cdot 2^{n+2} $ 解析2 $\left\{c_n\right\}$ 是差比数列，利用错位相减法求其前 $n$ 和．由（1）知 $c_{n}=\dfrac{\left(6n+6\right)^{n+1}}{\left(3n+3\right)^{n}}=3\left(n+1\right)\cdot 2^{n+1}$．<br/>又 $T_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots +c_{n}$，<br/>得\[\begin{split} T_{n}&=3\times \left[2\times 2^{2}+3\times 2^{3}+\cdots +\left(n+1\right)\times 2^{n+1}\right],\\ 2T_{n}&=3\times \left[2\times 2^{3}+3\times 2^{4}+\cdots +\left(n+1\right)\times 2^{n+2}\right],\end{split}\]两式作差，得\[\begin{split}-T_{n}&=3\times \left[2\times 2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots +2^{n+1}-\left(n+1\right)\times 2^{n+2}\right]\\&=3\times \left[4+\dfrac{4\left(1-2^{n}\right)}{1-2}-\left(n+1\right)\times 2^{n+2}\right]\\&=-3n\cdot 2^{n+2}\end{split}\]所以 $T_{n}=3n\cdot 2^{n+2}$． 备注2