甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 $3$ 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 $1$ 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 $0$ 分．已知甲每轮猜对的概率是 $\dfrac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率是 $\dfrac{2}{3}$；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
【难度】
【出处】
2016年高考山东卷（理）
【标注】
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“星队”至少猜对 $3$ 个成语的概率；标注答案$\dfrac{2}{3}$解析本题考查事件的独立性与互斥性．记事件 $A$：“甲第轮猜对”，记事件 $B$：“乙第一轮猜对”，
记事件 $C$：“甲第二轮猜对”，记事件 $D$：“乙第二轮猜对”，
记事件 $E$：““星队”至少猜对 $3$ 个成语”．
由题意，$E=ABCD+\bar ABCD+A\bar BCD+AB\bar CD+ABC\bar D$．由事件的独立性与互斥性，\[ \begin{split}P\left(E\right)&=P\left(ABCD\right)+P\left(\bar ABCD\right)+P\left(A\bar BCD\right)+P\left(AB\bar CD\right)+P\left(ABC\bar D\right)\\&=P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(\bar A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)P\left(D\right)+P\left(A\right)P\left(\bar B\right)P\left(C\right)P\left(D\right)\\&+P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(\bar C\right)P\left(D\right)+P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right)P\left(\bar D\right)\\&=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}+2\times \left(\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\right)\\&=\dfrac{2}{3}\end{split} \]所以“星队”至少猜对 $3$ 个成语的概率为 $\dfrac{2}{3}$． -
“星队”两轮得分之和 $X$ 的分布列和数学期望 $EX$．标注答案分布列为 $ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3&4&6\\ \hline P &\dfrac{1}{144}&\dfrac{5}{72}&\dfrac{25}{144}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4}\\ \hline\end{array} $，数学期望为 $ \dfrac{23}{6} $解析本题考查离散型随机变量的数字特征．由题意，随机变量 $X$ 可能的取值为 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$6$．
由事件的独立性与互斥性，得\[ \begin{split}&P\left(X=0\right)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{144},\\&P\left(X=1\right)=2\times
\left(\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{72},\\&P\left(X=2\right)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}+
\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{25}{144},\\&P\left(X=3\right)=
\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12},\\&P\left(X=4\right)=2\times \left(\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{5}{12},\\&P\left(X=6\right)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}.\end{split} \]可得，随机变量 $X$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&3&4&6\\ \hline P &\dfrac{1}{144}&\dfrac{5}{72}&\dfrac{25}{144}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4}\\ \hline\end{array} \]所以，数学期望\[EX=0\times \dfrac{1}{144}+1\times \dfrac{5}{72}+2\times \dfrac{25}{144}+3\times \dfrac{1}{12}+4\times \dfrac{5}{12}+6\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{23}{6}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
