已知函数 $f\left(x\right)=4\tan x\sin \left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}-x \right)\cos \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3} \right)- \sqrt{3} $．
【难度】
【出处】
2016年高考天津卷（理）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的定义域与最小正周期；标注答案$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left\{x\neq \dfrac {\mathrm \pi} {2}+k{\mathrm \pi} ,k \in \mathbb Z\right\}$，$f\left(x\right)$ 的最小正周期 $T={\mathrm \pi} $解析$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left\{x\neq \dfrac {\mathrm \pi} {2}+k{\mathrm \pi} ,k \in \mathbb Z\right\}$．
因为\[\begin{split}f\left(x\right)&=4\tan x\sin \left(\dfrac{\mathrm \pi} {2}-x \right)\cos \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3} \right)- \sqrt{3}\\&=4\sin x\cos \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3} \right)- \sqrt{3}\\&= 4\sin x \left(\dfrac 12\cos x+\dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x \right)- \sqrt{3}\\& =2\sin x\cos x+ 2\sqrt{3}\sin ^2 x-\sqrt 3\\&= \sin 2x+\sqrt 3\left(1-\cos 2x \right)- \sqrt{3}\\&=2\sin \left(2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3} \right) .\end{split}\]所以，$f\left(x\right)$ 的最小正周期 $T=\dfrac {2{\mathrm \pi} }{2}={\mathrm \pi} $． -
讨论 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 上的单调性．标注答案当 $x\in \left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {12},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},-\dfrac{\mathrm \pi} {12}\right]$ 上单调递减解析根据正弦型函数的性质求解即可．因为 $y=\sin x$ 的单调递增区间是 $\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} ,\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} \right],k\in \mathbb Z$，所以\[-\dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} \leqslant 2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\leqslant \dfrac {\mathrm \pi} {2}+2k{\mathrm \pi} ,k\in \mathbb Z,\]解得\[-\dfrac {\mathrm \pi} {12}+k{\mathrm \pi} \leqslant x\leqslant \dfrac {5{\mathrm \pi} }{12}+k{\mathrm \pi} ,k\in \mathbb Z.\]设 $A=\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$，$B=\left[-\dfrac {\mathrm \pi} {12} +k{\mathrm \pi} ,\dfrac {5{\mathrm \pi} }{12}+k{\mathrm \pi} \right],k\in \mathbb Z$，可得\[A\cap B=\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {12},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right].\]所以，当 $x\in \left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 时，$f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {12},\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {4},-\dfrac{\mathrm \pi} {12}\right]$ 上单调递减．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
