题目 某小组共 $10$ 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 $1$，$2$，$3$ 的人数分别为 $3$，$3$，$4$，现从这 $10$ 人中随机选出 $2$ 人作为该组代表参加座谈会． 问题1 设 $A$ 为事件“选出的 $2$ 人参加义工活动次数之和为 $4$”，求事件 $A$ 发生的概率； 答案1 事件 $A $ 发生的概率为 $\dfrac 13$． 解析1 $ 2 $ 人参加义工活动次数之和为 $4$ 的情况只有 $ 1+3 $ 和 $2+2 $ 两种．由已知，有\[P\left(A\right)=\dfrac {{\mathrm C}_3^1{\mathrm C}_4^1+{\mathrm C}_3^2}{{\mathrm C}_{10}^2}=\dfrac 13,\]所以，事件 $A $ 发生的概率为 $\dfrac 13$． 备注1 问题2 设 $X$ 为选出的 $2$ 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望． 答案2 随机变量 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2 \\ \hline P&\dfrac {4}{15}&\dfrac {7}{15}&\dfrac {4}{15}\\ \hline \end{array}\]随机变量 $X$ 的数学期望\[E\left(X\right)=0\times \dfrac {4}{15}+1\times \dfrac {7}{15}+2\times \dfrac {4}{15}=1.\] 解析2 考查随机变量的分布列和数学期望．因为随机变量 $X$ 的所有可能的取值为 $0$，$1$，$2$．\[P\left(X=0\right)=\dfrac {{\mathrm C}_3^2+{\mathrm C}_3^2+{\mathrm C}_4^2}{{\mathrm C}_{10}^2}=\dfrac 4{15},\]\[P\left(X=1\right)=\dfrac {{\mathrm C}_3^1{\mathrm C}_3^1+{\mathrm C}_3^1{\mathrm C}_4^1}{{\mathrm C}_{10}^2}=\dfrac 7{15},\]\[P\left(X=2\right)=\dfrac {{\mathrm C}_3^1{\mathrm C}_4^1 }{{\mathrm C}_{10}^2}=\dfrac {4}{15},\]所以，随机变量 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2 \\ \hline P&\dfrac {4}{15}&\dfrac {7}{15}&\dfrac {4}{15}\\ \hline \end{array}\]随机变量 $X$ 的数学期望为\[E\left(X\right)=0\times \dfrac {4}{15}+1\times \dfrac {7}{15}+2\times \dfrac {4}{15}=1.\] 备注2