题目 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 $100$ 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $\left[0,0.5\right),\left[0.5,1\right),\cdots,\left[4,4.5\right)$ 分成 $9$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图．<br><img src="/static/images/758eaba35d1599c74607651f618532a3.png" class="img-responsive" />  问题1 求直方图中 $a$ 的值； 答案1 $a=0.3$ 解析1 本题考查频率分布直方图中小矩形的面积之和为 $1$．由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 $1$，所以\[0.5\cdot \left( 0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a \right)=1,\]解得 $a=0.3$． 备注1 问题2 设该市有 $30$ 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 $3$ 吨的人数，并说明理由； 答案2 $3.6$ 万 解析2 本题考查用样本估计总体，计算出对应的样本的数字特征即可估计总体的．由图，不低于 $3$ 吨的人数所占百分比为\[0.5\cdot \left( 0.12+0.08+0.04 \right) = 12\%,\]故全市月均用水量不低于 $3$ 吨的人数为 $30\cdot 12\%=3.6$（万）． 备注2 问题3 若该市政府希望使 $85\%$ 的居民每月的用水量不超过标准 $x$（吨），估计 $x$ 的值，并说明理由． 答案3 $2.9$ 吨 解析3 本题考查从频率分布直方图中找出对应频率的数值的方法．首先确定出对应频率的数值所在的区间，然后根据比例具体计算即可．由图可知，月均用水量小于 $2.5$ 吨的居民人数所占百分比为\[0.5\cdot \left( 0.08+0.16+0.3+0.4+0.52 \right)=0.73,\]即 $73\%$ 的居民月均用水量小于 $2.5$ 吨，同理，$88\%$ 的居民月均用水量小于 $3$ 吨，故 $2.5<x<3$．<br/>假设月均用水量平均分布，则$x=2.5+0.5\cdot \dfrac{\left( 85\%-73\% \right)\div 0.5}{0.3}=2.9$（吨）．<br/>注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差． 备注3