题目 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，且 $\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}$． 问题1 证明：$\sin A\sin B=\sin C$； 答案1 略 解析1 题中已知为“边角混合式”，根据正弦定理将“边化角”是解决本题的关键．由正弦定理，原式可以化解为\[\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}=\dfrac{\sin C}{\sin C}=1,\]又因为 $A$ 和 $B$ 为三角形内角，所以 $\sin A\sin B\ne 0$，则两边同时乘以 $\sin A\sin B$，可得\[\sin B\cos A+\sin A\cos B=\sin A\sin B,\]由和角公式可知，\[\sin B\cos A+\sin A\cos B=\sin \left( A+B \right)=\sin \left( {\mathrm \pi} -C \right)=\sin C,\]原式得证． 备注1 问题2 若 $b^2+c^2-a^2=\dfrac65bc$，求 $\tan B$． 答案2 $4$ 解析2 题中已知条件的余弦定理特征明显，可结合余弦定理求出 $A$，再结合（1）中结论，问题得到解决．由 ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}=\dfrac{6}{5}bc$，根据余弦定理可知，\[\cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{3}{5},\]又因为 $A$ 为三角形内角，所以 $\sin A>0$，则\[\sin A=\sqrt{1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{2}}}=\dfrac{4}{5},\]即 $\dfrac{\cos A}{\sin A}=\dfrac{3}{4}$，由（1）可知\[\dfrac{\cos A}{\sin A}+\dfrac{\cos B}{\sin B}=\dfrac{\sin C}{\sin C}=1,\]所以 $\dfrac{\cos B}{\sin B}=\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{1}{4}$，因此 $\tan B=4$． 备注2