题目 在 $\triangle ABC$ 中，$a^2+c^2=b^2+\sqrt 2ac$． 问题1 求 $\angle B$ 的大小； 答案1 $\dfrac{{\mathrm \pi} }4$ 解析1 本题考查余弦定理．因为\[{{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{b}^{2}}+\sqrt{2}ac,\]所以\[a^2+c^2-b^2=\sqrt 2ac,\]因此\[\cos<br/>B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\]又因为 $B\in \left(0,{\mathrm \pi} \right)$，所以 $B=\dfrac{\mathrm \pi} {4}$． 备注1 问题2 求 $\sqrt 2\cos A+\cos C$ 的最大值． 答案2 $1$ 解析2 注意利用三角形内角和的条件和第一问的结论，把角度统一为一个角，然后化成正弦型函数的形式，从而求解，注意角的范围的确定．在 $\triangle ABC$ 中，$A+B+C={\mathrm \pi} $，所以\[A+C=\dfrac 34{\mathrm \pi} .\]所以\[\begin{split}\sqrt 2\cos A+\cos C&=\sqrt 2\cos A+\cos\left(\dfrac 34{\mathrm \pi} -A\right)\\&=\dfrac{\sqrt 2}2\cos A+\dfrac{\sqrt 2}2\sin A\\&=\sin\left(A+\dfrac{\mathrm \pi} 4\right).\end{split}\]（推导中用到：）由 $A\in \left(0,\dfrac 34{\mathrm \pi} \right)$ 有\[A+\dfrac{\mathrm \pi} 4\in \left(\dfrac{\mathrm \pi} 4,{\mathrm \pi} \right),\]所以 $\sin\left(A+\dfrac{\mathrm \pi} 4\right)$ 的最大值为 $1$． 备注2