$S_n$ 为等差数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=1,S_7=28$．记 $b_n=\left[\lg a_n\right]$，其中 $\left[x\right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $\left[0.9\right]=0,\left[\lg 99\right]=1$．
【难度】
【出处】
2016年高考全国甲卷（理）
【标注】
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求 $b_1,b_{11},b_{101}$；标注答案$0$，$1$，$2$解析先由基本量法求出 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的通项公式，再根据 $b_n=\left[\lg a_n\right]$ 即可求出 $b_1,b_{11},b_{101}$．设 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 的公差为 $d$，由 ${{S}_{7}}=7{{a}_{4}}=28$，$a_1=1$，得\[d=\dfrac{{{a}_{4}}-{{a}_{1}}}{4-1}=1,\]所以 ${{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1\right)d=n$，因此\[\begin{split}&{{b}_{1}}=\left[ \lg {{a}_{1}} \right]=\left[ \lg 1 \right]=0,\\&{{b}_{11}}=\left[ \lg {{a}_{11}} \right]=\left[ \lg 11 \right]=1,\\&{{b}_{101}}=\left[ \lg {{a}_{101}} \right]=\left[ {{\lg }{101}} \right]=2.\end{split}\]
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求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $1000$ 项和．标注答案$1893$解析根据取整函数的特点对 ${{b}_{1}},{{b}_{2}},\cdots,{{b}_{1000}}$ 进行合理的分类，再求和．记 $\left\{ {{b}_{n}} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${{T}_{n}}$，则\[{{T}_{1000}}={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{b}_{1000}}=\left[ \lg {{a}_{1}} \right]+\left[ \lg {{a}_{2}} \right]+\cdot \cdot \cdot +\left[ \lg {{a}_{1000}} \right].\]当 $0\leqslant \lg {{a}_{n}}<1$ 时，$n=1 , 2 , \cdot \cdot \cdot , 9$；
当 $1\leqslant \lg {{a}_{n}}<2$ 时，$n=10 , 11 , \cdot \cdot \cdot , 99$；
当 $2\leqslant \lg {{a}_{n}}<3$ 时，$n=100 , 101 , \cdot \cdot \cdot , 999$；
当 $\lg {{a}_{n}}=3$ 时，$n=1000$．
所以 ${{T}_{1000}}=0\times 9+1\times 90+2\times 900+3\times 1=1893$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
