题目 某险种的基本保费为 $a$（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline { 上年度出险次数 }&0&1&2&3&4&{\geqslant 5}\\ \hline { 保费 }&{0.85a}&a&{1.25a}&{1.5a}&{1.75a}&{2a}\\ \hline\end{array}\]设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline{ 一年内出险次数 }&0&1&2&3&4&{\geqslant 5}\\ \hline { 概率 }&{0.30}&{0.15}&{0.20}&{0.20}&{0.10}&{0.05}\\ \hline\end{array}\] 问题1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 答案1 $0.55$ 解析1 由题中两个表格知，续保人本年度的保费不高于基本保费的概率为出险次数为 $0$ 和 $1$ 时对应的概率，再由对立事件的概率计算公式计算即可．设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 $A$，则\[\begin{split}P\left(A\right)&\overset{\left[a\right]}=1-P\left(\overline{A}\right)\\&=1-\left(0.30+0.15\right)\\&=0.55.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$） 备注1 问题2 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 $60\%$ 的概率； 答案2 $\dfrac{3}{11}$ 解析2 由条件概率的概率计算公式计算即可．设续保人保费比基本保费高出 $60\%$ 为事件 $B$，则\[\begin{split}P\left(B| A \right)&\overset{\left[a\right]}=\dfrac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}\\&=\dfrac{0.10+0.05}{0.55}\\&=\dfrac{3}{11}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$） 备注2 问题3 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 答案3 $1.23$ 解析3 问题的关键是求出续保人本年度的平均保费，设本年度所交保费为随机变量 $X$，则其均值 $E\left(X\right)$ 即为所求．设本年度所交保费为随机变量 $X$，其分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&0.85a&a&1.25a&1.5a&1.75a&2a\\ \hline P&0.30&0.15&0.20&0.20&0.10&0.05\\ \hline \end{array}\]则平均保费\[\begin{split}E\left(X\right)&=0.85a\times 0.30+0.15a+1.25a\times 0.20+1.5a\times 0.20+1.75a\times0.10+2a\times0.05\\&=1.23a.\end{split}\]所以平均保费与基本保费的比值为 $1.23$． 备注3