$\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $2\cos C\left(a\cos B+b\cos A\right)=c$．
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（理）
【标注】
-
求 $C$；标注答案$C=\dfrac{\mathrm \pi} 3$解析根据正弦定理的“边角互化”，将题中已知条件中的“边角混合式”全部转化为角的式子，再结合三角函数知识解决．$2\cos C\left(a\cos B+b\cos A\right)=c$，结合正弦定理得\[2\cos C\left(\sin A\cdot \cos B+\sin B\cdot \cos A\right)=\sin C,\]也即\[2\cos C\cdot \sin\left(A+B\right)=\sin C,\]因为 $A+B+C={\mathrm \pi} $，$A,B,C\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，所以\[\sin\left(A+B\right)=\sin C>0,\]于是有\[\cos C=\dfrac 12.\]而 $C\in\left(0,{\mathrm \pi} \right)$，所以 $C=\dfrac{\mathrm \pi} 3$．
-
若 $c=\sqrt7$，$\triangle ABC$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt3}{2}$，求 $\triangle ABC$ 的周长．标注答案$a+b+c=5+\sqrt 7$解析题中条件为“一对边角”（$C$ 和 $c$），根据正弦定理得到 $a,b$ 关系式，再结合面积定值，得出 $a,b$ 另一关系式，联立求解即可．由余弦定理得\[c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos C,\]代入 $c$ 和 $C$ 得\[7=a^2+b^2-2ab\cdot \dfrac 12,\]整理可得\[\left(a+b\right)^2-3ab=7.\]而三角形的面积\[S=\dfrac 12ab\sin C=\dfrac {3\sqrt 3}2,\]可得\[ab=6.\]所以\[\left(a+b\right)^2-18=7,\]可得\[a+b=5,\]所以三角形 $ABC$ 的周长为 $a+b+c=5+\sqrt 7$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
