如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形，$AF=2FD$，$\angle AFD=90^\circ$，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60^\circ$．
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（理）
【标注】
-
证明：$ 平面 ABEF\perp 平面 EFDC$；标注答案略解析本小题考查面面垂直的证明，可以通过线面垂直来证明．因为四边形 $ABEF$ 为正方形，
所以 $AF\perp EF$．
由已知 $\angle AFD=90^\circ$，
有 $AF\perp DF$．
而 $DF\cap EF=F$，
所以 $AF\perp 面 EFDC$，
又 $AF\subset 面 ABEF$，
所以 $ 平面 ABEF\perp 平面 EFDC$． -
求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值．标注答案$-\dfrac{2\sqrt{19}}{19}$解析本小题主要考查由向量法求解二面角问题，求出法向量，进而求出两个法向量的夹角的余弦值，并判断原二面角的锐钝即可．由 $(1)$ 结合已知条件可知\[\angle DFE=\angle CEF=60^\circ.\]因为\[AB\parallel EF,AB \not\subset 平面 EFDC,EF\subset 平面 EFDC,\]所以\[AB\parallel 平面 EFCD,\]又因为\[AB\subset ABCD, 面 ABCD\cap 面 EFDC=CD,\]所以\[AB\parallel CD\parallel EF,\]因此四边形 $EFDC$ 是等腰梯形．
以 $E$ 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 $FD=a$，则 $E\left(0,0,0\right)$，$B\left(0,2a,0\right)$，$C\left(\dfrac a2,0,\dfrac{\sqrt 3}2a\right)$，$A\left(2a,2a,0\right)$．
$\overrightarrow {EB}=\left(0,2a,0\right)$，$\overrightarrow {BC}=\left(\dfrac a2,-2a,\dfrac{\sqrt 3}2a\right)$，$\overrightarrow {AB}=\left(-2a,0,0\right)$．
设面 $BEC$ 的法向量为 $\overrightarrow m=\left(x_1,y_1,z_1\right)$，则\[\begin{cases}\overrightarrow m\cdot \overrightarrow {EB}=0,\\\overrightarrow m\cdot \overrightarrow {BC}=0.\end{cases}\]即\[\begin{cases}2a\cdot y_1=0,\\\dfrac a2\cdot x_1-2ay_1+\dfrac{\sqrt 3}2a\cdot z_1=0.\end{cases}\]令 $z_1=-1$，可得 $\overrightarrow m=\left(\sqrt 3,0,-1\right)$．
设面 $ABC$ 的法向量为 $\overrightarrow n=\left(x_2,y_2,z_2\right)$，则\[\begin{cases}\overrightarrow n\cdot \overrightarrow {BC}=0,\\\overrightarrow n\cdot \overrightarrow {AB}=0.\end{cases}\]即\[\begin{cases}\dfrac a2\cdot x_2-2ay_2+\dfrac{\sqrt 3}2a\cdot z_2=0,\\2a\cdot x_2=0.\end{cases}\]令 $z_2=4$，可得 $\overrightarrow n=\left(0,\sqrt 3,4\right)$．
设二面角 $E-BC-A$ 的平面角为 $\theta$，则\[\begin{split}|\cos \theta|&=\left|\dfrac{\overrightarrow m\cdot \overrightarrow n}{\left|\overrightarrow m\right|\cdot \left|\overrightarrow n\right|}\right|\\&=\left|\dfrac{-4}{\sqrt{3+1}\cdot\sqrt{3+16}}\right|\\&=\dfrac{2\sqrt{19}}{19}.\end{split}\]又二面角 $E-BC-A$ 的平面角为钝角，所以二面角 $E-BC-A$ 的余弦值为 $-\dfrac{2\sqrt{19}}{19}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
