题目 某公司计划购买 $2$ 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 $200$ 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 $500$ 元．现需决策在购买机器时应该同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 $100$ 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：<br><img src="/static/images/c5fed847e128e9b75182623b1db430fe.png" class="img-responsive" /> 以这 $100$ 台机器更换的易损零件数的频率代替 $1$ 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 $X$ 表示这 $2$ 台机器三年内共需要更换的易损零件数，$n$ 表示购买 $2$ 台机器的同时购买的易损零件数． 问题1 求 $X$ 的分布列； 答案1 \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&16&17&18&19&20&21&22\\ \hline P &0.04&0.16&0.24&0.24&0.2&0.08&0.04\\ \hline \end{array}\] 解析1 本题考查离散型随机变量的分布列求法，根据频率分布直方图，得出对应概率即可．由柱状图可得：每台机器三年内可能更换的易损两件数为 $8$，$9$，$10$，$11$，概率分别为 $0.2$，$0.4$，$0.2$，$0.2$．<br/>于是 $2$ 台机器三年内共需要更换的易损零件数 $X$ 可取 $16,17,18,19,20,21,22$．则\[\begin{split}&P\left(X=16\right)=0.2\times 0.2=0.04,\\& P\left(X=17\right)={\mathrm C}_{2}^{1}\times 0.2\times 0.4=0.16,\\& P\left(X=18\right)=0.2\times 0.2 +0.2\times 0.2+0.4\times 0.4=0.24,\\&P\left(X=19\right)=0.2\times 0.2 +0.4\times 0.2+0.4\times 0.2+0.2\times 0.2=0.24,\\&P\left(X=20\right)=0.2\times 0.2+0.4\times 0.2+0.2\times 0.4=0.2,\\& P\left(X=21\right)=0.2\times 0.2+0.2\times 0.2=0.08,\\& P\left(X=22\right)=0.2\times 0.2=0.04.\end{split}\]所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&16&17&18&19&20&21&22\\ \hline P &0.04&0.16&0.24&0.24&0.2&0.08&0.04\\ \hline \end{array}\] 备注1 问题2 若要求 $P\left(X\leqslant n\right)\geqslant0.5$，确定 $n$ 的最小值； 答案2 $19$ 解析2 根据 $(1)$ 小题的分布列，求出 $n$ 的最小值即可．$n$ 表示购买 $2$ 台机器的同时购买的易损零件数，则若使\[P\left(X\leqslant n\right)\geqslant 0.5,\]则 $n$ 的最小值为 $19$．因为 $P\left(X\leqslant 18\right)<0.5$，$P\left(X\leqslant 19\right)\geqslant 0.5$． 备注2 问题3 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其一，应选用哪个？ 答案3 $19$ 解析3 分别计算出 $n=19$ 和 $n=20$ 时的费用的期望值比较即可．当 $n=19$ 时，费用的期望为 $19\times 200+500\times 0.2+1000\times 0.08+1500\times 0.04=4040$；<br/>当 $n=20$ 时，费用的期望为 $20\times 200 +500\times 0.08+1000\times 0.04=4080$；<br/>所以应选用 $n=19$． 备注3