在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=a\cos t,\\y=1+a\sin t,\end{cases}$（$t$ 为参数，$a>0$）．在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_2:\rho=4\cos\theta$．
【难度】
【出处】
2016年高考全国乙卷（文）
【标注】
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说明 $C_1$ 是哪一种曲线，并将 $C_1$ 的方程化为极坐标方程；标注答案$C_1$ 为以 $\left(0,1\right)$ 为圆心，$a$ 为半径的圆，其极坐标方程为\[ C_1:\rho ^2 = 2\rho \sin \theta+a^2-1.\]解析首先，将题中参数方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标与极坐标的互化得出其极坐标方程即可．因为 $\begin{cases}x=a\cos t,\\ y=1+a \sin t \end{cases}$ 对应的直角坐标方程是\[ x^2+\left(y-1\right)^2=a^2,\]所以 $C_1$ 为以 $\left(0,1\right)$ 为圆心，$a$ 为半径的圆．
根据直角坐标与极坐标的转化关系 $\begin{cases}x=\rho \cos \theta,\\ y=\rho \sin \theta. \end{cases}$ 可得 $C_1$ 的极坐标方程为\[ C_1:\rho ^2 = 2\rho \sin \theta+a^2-1.\] -
直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_0$，其中 $\alpha_0$ 满足 $\tan\alpha_0=2$，若曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点都在 $C_3$ 上，求 $a$．标注答案$1$解析本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化以及直线与圆的交点问题，将极坐标方程化为直角坐标方程求交点即可．曲线 $C_2:\rho = 4\cos \theta$ 的方程两边同乘 $\rho$，得 $\rho ^2=4\rho \cos \theta$，转化为直角坐标方程为\[C_2:x^2+y^2=4x,\]根据题意，曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点所在直线为 $C_3$．把曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的方程作差，得\[C_3:4x-2y+1-a^2=0.\]又因为直线 $C_3$ 的直角坐标方程为 $y=2x$，所以 $1-a^2=0$，解得 $a=1$（$a=-1$ 舍）．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
