题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=1+\lambda a_n$，其中 $\lambda\ne 0$． 问题1 证明 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，并求其通项公式； 答案1 $ {{a}_{n}}=\dfrac{1}{1-\lambda }{{\left( \dfrac{\lambda }{\lambda -1} \right)}^{n-1}} $． 解析1 先利用通项与前 $n$ 项和的关系得到数列 $\left\{a_n\right\}$ 的递推公式，发现后一项与前一项的比值为定值，即得出结论 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列．当 ${n=1}$ 时，${{S}_{1}}={{a}_{1}}=1+\lambda {{a}_{1}}$，所以 $\lambda \ne 1$，${{a}_{1}}=\dfrac{1}{1-\lambda }$；<br/>由 $S_n=1+\lambda a_n$，$S_{n+1}=1+\lambda a_{n+1}$，两式作差得\[a_{n+1}=\lambda a_{n+1}-\lambda a_n,\]即\[\left(\lambda -1\right)a_{n+1}=\lambda a_n,\]因为 $a_1\ne 0$，所以 $a_n\ne 0$，所以\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lambda}{\lambda -1},\]故 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是首项为 $\dfrac{1}{1-\lambda }$ 公比为 $\dfrac{\lambda }{\lambda -1}$ 的等比数列，因此\[{{a}_{n}}=\dfrac{1}{1-\lambda }{{\left( \dfrac{\lambda }{\lambda -1} \right)}^{n-1}}.\] 备注1 问题2 若 $S_5=\dfrac{31}{32}$，求 $\lambda$． 答案2 $\lambda =-1$ 解析2 考查等比数列的求和公式，直接代公式进行计算即可．由 ${{S}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$，整理得\[{{S}_{5}}=1-{{\left( \frac{\lambda }{\lambda -1} \right)}^{5}}=\frac{31}{32},\]求得\[\frac{\lambda }{\lambda -1}=\frac{1}{2},\]所以 $\lambda =-1$． 备注2